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- 形式邏輯
- 機率性關聯
- 博弈論
- 策略性人工智慧
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> 「若世事皆局，**則深研`AI「數學」`，以窮其理**。何處棲慧根？**冰河暖流共存**；何以生智源？**數理邏輯與機率**。」〜 **📐** `AI 「數學」`
# 📐 AI 「數學」

`數學`是人類心智能力破譯大千世界的重要工具，更是在打造**智能體**時應對萬千世界的必備的工具。「符號流」AI 的根本 [形式邏輯](03-01-formal_logic.qmd) 與「統計流」AI 的基礎 [機率性關聯](04-01-probabilistic_association.qmd) 都是明顯例子。

隨著[神經網路](04-03-neural_networks.qmd) 發展 及 [大語言模型](02-07-large_language_models.qmd) 應用的擴散，不管是程式碼與算力，背後「AI用到的數學」更是繁多。

::: {.callout-tip #tip-ai-math title="📐什麼是「AI 數學」？"}

「**數學是源頭活水**」〜 AI 的理論根基，是人類心智能力破譯大千世界的重要工具，也是打造**智能體**時不可或缺的基石。

**📐「AI 數學」三句箴言**：（點開⏵可揭露細節）

<details> <summary>📜 「**理性為律，推演成智**」 〜 形式邏輯與離散數學，為 AI 奠定推理與規則的基礎。</summary>  
這呼應了「符號流」AI：智慧來自**邏輯規則**與**形式化推理**。  
</details>

<details> <summary>🌊 「**潮湧機率，經驗成知**」 〜 機率、統計與資訊理論，支撐 AI 在不確定世界中的學習。</summary>  
這呼應了「統計流」AI：智慧來自**數據經驗**與**機率推斷**。  
</details>

<details> <summary>🔥 「**數值為器，優化成模**」 〜 微積分、數值分析與最佳化，鍛造模型使其能在現實情境下收斂並高效運作。</summary>  
這呼應了「工程數學」的基礎：智慧需要**計算穩定性**與**資源效率**。  
</details>

收斂三句箴言「**妙問**」成長偈：  
- 🪷「**弱水有三千，只取一瓢飲**」〜 數學如大千世界，AI 取其所需，化為源頭活水，解渴於當下，亦滋養於未來。  

📐💦
:::

由此可見，`AI 「數學」` 雖是現代人工智慧的基石，既要見樹又見林，又要淺嘗則止，要介紹入門取捨難。

## 🚰AI 與數學比喻💦

::: {.callout-note #nte-ai-math title="📐 AI 「數學」知足與專注的選擇"}

 「**弱水有三千**，只取一瓢飲」說法融合了佛家「三千大千世界」及《論語·雍也》「一簞食，一瓢飲」的知足與專注。

如同過濾數據的基礎方法「數學」，其本身也有大千世界。`AI 「數學」` 大致有：

* 「符號流」AI：如「理性與邏輯的冰河」🧊  
    * 📜 **數理邏輯與形式系統**（Logics & Formal Systems）：如 AI 的「**律法典籍**」，提供**形式化推理**與**演繹規則**。  
    * 🧩 **離散數學**（Discrete Mathematics）：如 AI 的「**棋盤與拼圖**」，支撐**演算法設計**與**有限狀態建模**。  

* 「統計流」AI：如「機率與經驗的潮浪」🌊  
    * 📐 **線性代數**（Linear Algebra）：大數據「**新兵教頭**」，支撐**矩陣運算**與**特徵表示**。  
    * ♾️ **微積分**（特別是**最佳化**演算法）：AI 模型的「**教練**」，引導**參數更新**與**收斂**。  
    * 🔢 **數值分析**（Numerical Analysis）：AI 的「**數值工匠**」，提供**微分方程求解**、**穩定性分析**與**誤差控制**，確保演算法在大規模計算中能**收斂**並保持**精度**。  
    * 📡 **資訊理論**（Information Theory）：AI 的「**訊息守門人**」，透過**熵**、**交叉熵**與**KL 散度**等概念，支撐**學習目標**、**壓縮**與**泛化能力**。  
    * 🎲 **機率與隨機過程**（Probability & Stochastic Processes）：AI 模型的「**算命求生大師**」，處理**不確定性**與**隨機性**。  
    * 🕸️ **圖論與組合數學**（Graph Theory & Combinatorics）：AI 模型的「**符號知識宗師**」，支撐**搜尋**、**網路分析**與**知識圖譜**。  
    * 🎮 **賽局理論**（Game Theory）：AI 模型的「**賽局軍師**」，分析**互動策略**與**均衡**。  

* 「博弈派」AI 與「具身派」AI ：如「行動與控制的熔爐」的 **工程數學** 🔥  
    - 🎛️ **控制理論**（Control Theory）：如 AI 的「**穩定守護者**」，確保**機器人**與**自動化系統**在**動態環境**中保持**穩定**與**精確控制**。  
    - 🔄 **動態系統**（Dynamical Systems）：如 AI 的「**行為預言家**」，建模與分析**連續或離散時間**的**系統行為**，支撐**運動學**與**強化學習**。  
    - 📈 **最佳化理論**（Optimization Theory）：如 AI 的「**資源調度師**」，在**路徑規劃**、**資源分配**與**策略改進**中發揮關鍵作用。  

本書精選以上分支裡的 8 項關鍵內容進行介紹，望成源頭活水，雖取之寡淡，卻能長流不息，解渴於當下，亦滋養於未來。

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::: {#fig-mindmap-09 caption="聚焦 📐 AI用到的數學 心智圖" .part }
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## 📐AI 與數學概論♾️

在說明本書精選哪 8 項「AI用到的數學」之前，本節先提供一概述。AI 的發展離不開線性代數、微積分、最佳化、機率統計、資訊理論與數值分析等多元分支的共同支撐，不僅是理論支柱，也是實務應用的核心工具 [@siadati2024; @kunze2023]。

早期的 **[符號流](02-01-symbolic_ai.zh-hant)** 又稱「GOFAI」主要透過邏輯與規則來模擬人類思考，其核心數學包括：
* 📜 **數理邏輯與形式系統**（Logics & Formal Systems）：如 AI 的「**律法典籍**」，以**形式化推理與演繹規則**，支持**知識表示**、**規則引擎**與**定理證明**，確保智能體能進行一致且可檢驗的推理。
* 🧩 **離散數學**（Discrete Mathematics）：如 AI 的「**棋盤與拼圖**」，支撐**圖結構**、**演算法設計**與**組合優化**，支持**搜尋**、**規劃**與**資料結構**，讓 AI 能在有限狀態空間中有效運作。
* 🪄 **抽象代數**（Abstract Algebra）：如 AI 的「**鍊金士**」，雖非日常核心工具，但在**符號操作**、**密碼學**、**編碼理論**中扮演重要角色，支撐符號推理、安全通信與資料完整性。

隨著 **[統計流](02-02-statistical_ai.zh-hant)** 與 **[神經網路](04-03-neural_networks.zh-hant) AI** 的興起，現代 AI 尤其在深度學習與機器學習領域，廣泛應用了多種數學分支：

- 📐 **線性代數**：是大數據「新兵教頭」，用於管理和處理大規模數據集，支撐向量與矩陣運算、資料表示、特徵轉換與模型參數管理。
- ♾️ **微積分**與**最佳化**：是 AI 模型的「教練」，為模型訓練提供梯度計算與參數更新方法，引導模型收斂至最佳解。
- 🎲 **機率與隨機過程**：是 AI 模型的「算命求生大師」，應對現實世界中的不確定性。透過量化不確定性、建構生成模型與推斷機制，讓 AI 能在不確定環境中做出合理決策。
- 🕸️ **圖論與組合數學**：是 AI 模型的「符號知識宗師」，支撐知識圖譜、搜尋演算法與網路結構分析。
- 🎮 **賽局理論**：是 AI 模型的「賽局軍師」，分析互動與策略選擇，應用於博弈 AI、經濟模型與資源分配。
- 🔢 **數值分析**：是 [AI 工程](10----ai_engineering.qmd)的「數值工匠」，提供數值方法以解決**微分方程**、進行**穩定性分析**與**誤差控制**，對於**模擬動態系統**、訓練**深度模型**與確保**演算法收斂**至關重要。
- 📡 **資訊理論**：以**熵**、**交叉熵**與**KL 散度**等概念，支撐模型的學習目標、壓縮與泛化能力，是深度學習不可或缺的數學基礎。

此外，**工程數學**在「博弈派」AI 與「具身派」AI 中尤其重要，主要包括：
- 🎛️ **控制理論**（Control Theory）：確保機器人與自動化系統在**動態環境**中保持**穩定**與**精確控制**。  
- 🔄 **動態系統**（Dynamical Systems）：建模與分析連續時間或離散時間的**系統行為**，支撐機器人運動學與強化學習中的**環境建模**。  
- 📈 **最佳化理論**（Optimization Theory）：在多重約束下尋找最優解，應用於**路徑規劃**、**資源分配**與**強化學習**策略改進。  

這些數學不僅是工具，更是理解AI如何 **「分析」和「決策」** 的關鍵操作語言（參見[第陸篇 ❖ 分析與決策 6 點](06----analytics_decisions.qmd)）。從推薦系統到特徵學習各概念實踐，背後都有堅實的數學理論支撐。

## 📐AI 數學 與 工程🌉

本書此章為承先啟後（承本書前面提到的各流派，啟下一章的 [🌉 AI 工程](10----ai_engineering.zh-hant)），總結出以下底層數學基礎分類：
- 🏗️ **模型構建**（Model Construction）：**線性代數** 與 **微積分** 如同 AI 模型的「骨架」與「肌肉」，支撐其架構設計與訓練。**資訊理論** 與 **數值分析** 支持 進一步的 **深度學習**。
	- **線性代數** 處理多維數據的運算與轉換，為神經網路的層次堆疊提供基本工具。
	- **微積分** 與 **梯度法** 引導模型在複雜數據空間中找到最佳參數，支撐學習過程。
	- **資訊理論**：透過熵（Entropy）、交叉熵（Cross‑Entropy）、KL 散度（Kullback–Leibler Divergence）等概念，支撐模型的學習目標、壓縮與泛化能力，是**深度學習**所需的數學基礎。 
	- 🔢 **數值分析**（Numerical Analysis）：提供數值方法以解決微分方程、進行穩定性與誤差分析，確保演算法在大規模計算中能收斂並保持精度。對於科學**機器學習**、物理驅動**神經網路**與**模擬系統**尤為重要。  
- ⚙️ **系統優化**（System Optimization）：**最佳化理論** 是確保 AI 系統高效運行的核心。不僅提升模型準確度，亦在有限的計算資源、時間或電力下，尋找平衡解，宛如 AI 系統的「智慧能源管理師」，在各種約束條件下達到最優性能。
- 🧭 **決策與規劃**（Decision and Planning）：賦予 AI 系統「思考」與「行動」能力的數學基礎，包括 **機率論**、**圖論** 與 **賽局理論** 共同為智能體提供決策依據，掌握不確定性。
	- **圖論** 幫助在複雜環境中進行路徑規劃與關係理解
	- **賽局理論** 支援多智能體互動中的策略設計。
- 🛡️ **可靠性與安全性**（Reliability and Safety）：AI 應用於關鍵領域時，其穩定性與風險評估至關重要。
	- **統計學** 與 **隨機過程** 分析模型穩定性、評估錯誤率，並在不可預測的外部干擾下維持系統穩健運行。
- 🤖 **工程數學**（Engineering Mathematics）：在「博弈派」AI 與「具身派」AI 中尤其重要。  
	- **控制理論**：確保機器人與自動化系統能在動態環境中保持穩定與精確控制。  
	- **動態系統**：建模與分析連續或離散時間的系統行為，支撐機器人運動學與強化學習中的環境建模。  
	- **最佳化理論**：在路徑規劃、資源分配與強化學習策略改進中發揮關鍵作用。

根據上述，亦求 [知行鷹架](notes-constructive_fill-in.zh-hant) 的融會貫通，本書精選 8 項「AI 用到的數學」，涵蓋上述數學領域的重點模型、原理與演算法。

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## 🪴內容大綱

本書精選 8 項「AI用到的數學」，讀者可以依據自身需求，延伸、向上擴展或向下深入所需的知識。
### 🌰 內容：核心條目

* **9.1** 🤝🚿 [協同過濾](09-01-collaborative_filtering.zh-hant)（Collaborative Filtering）  
    - 【線性代數📐＋統計學📊＋資訊理論📡支撐的推薦系統】  
    - 透過**使用者**或**項目**之間的**相似度**與**潛在因子分解**進行**推薦**，廣泛應用於**電商**、**影音平台**與**社交媒體**。
* **9.2** 📉⛰️ [最陡下降法](09-02-steepest_descent_method.zh-hant)（Steepest Descent Method）  
    - 【微積分♾️＋線性代數📐＋數值分析🔢支撐的最佳化演算法】  
    - 沿著**梯度方向**逐步**更新參數**以最小化**損失函數**，是**梯度下降**與其他**最佳化演算法**的基礎。
* **9.3** 🔮🕸️ [貝氏網路](09-03-bayesian_network.zh-hant)（Bayesian Network）  
    - 【機率論🎲＋統計學📊＋資訊理論📡支撐的不確定性推論】  
    - 以**有向無環圖（DAG）**表示**隨機變數**間的**條件依賴關係**，支援**診斷**、**預測**、**決策分析**與**因果推斷**。
* **9.4** 🧹🧩 [稀疏建模](09-04-sparse_modeling.zh-hant)（Sparse Modeling）  
    - 【線性代數📐＋最佳化理論⚙️＋數值分析🔢支撐的特徵學習】  
    - 透過**稀疏表示**僅保留最重要的**特徵**或**參數**，提升模型**解釋性**、**泛化能力**與**運算效率**。
* **9.5** ⛓️🔄 [馬可夫模型](09-05-markov_modeling.zh-hant)（Markov Modeling）  
    - 【機率論🎲＋統計學📊＋隨機過程🌀支撐的序列模型】  
    - 假設**當前狀態**僅依賴於**前一狀態**，廣泛應用於**語音識別**、**自然語言處理**、**金融建模**與**序列資料分析**。
* **9.6** 🌲🧭 [蒙地卡羅樹搜尋](09-06-monte_carlo_tree_search.zh-hant)（Monte Carlo Tree Search, MCTS）  
    - 【圖論🕸️＋機率論🎲＋微積分♾️＋數值分析🔢支撐的搜尋與規劃演算法】  
    - 結合**隨機模擬**、**樹狀搜尋**與**探索‑利用平衡策略**（如 **UCT**）以選擇**最佳行動**，在**棋類 AI**（如 **AlphaGo**）中表現突出。
* **9.7** 🧠⚡ [赫布學習論](09-07-hebb_rule.zh-hant)（Hebb’s Rule）  
    - 【線性代數📐＋統計學📊＋圖論🕸️＋資訊理論📡支撐的神經學習規則】  
    - 「**同步激發**的**神經元**，其**連接**將得到**強化**」的原則，啟發了**神經網路**的**權重更新規則**與**聯想記憶模型**。
* **9.8** 🧮💰 [多智能體報酬矩陣](09-08-multi_agent_payoff_matrix.zh-hant)（Multi-Agent Payoff Matrix）  
    - 【賽局理論🎮＋線性代數📐＋機率論🎲＋最佳化理論⚙️支撐的策略分析】  
    - 以**矩陣形式**描述**多智能體**在不同**策略組合**下的**收益分佈**，是**博弈分析**、**資源分配**與**合作策略設計**的基礎工具。

### 📦 延伸：建議擴張

- 🎭⛓️🔄 **隱藏式馬可夫模型**（Hidden Markov Model, HMM）  
  - 在馬可夫鏈基礎上引入隱藏狀態，廣泛應用於語音與序列資料分析。
- 🧠🔮🕸️ **貝氏網路、神經網路與深度學習的關係**  
  - 探討機率圖模型與神經網路在結構與推論上的互補性。